正态总体的假设检验

Hypothesis testing for normal populations

一、单个正态总体均值的检验

1. 方差 ${\sigma }^2$ 已知，均值 $\mu$ 的检验 (U 检验)

构造统计量：

拒绝域：

• 双边检验： $\left|u\right|\ge u_{\alpha /2}$
• 右边检验： $u\ge u_{\alpha }$
• 左边检验： $u\le -u_{\alpha }$

2. 方差 ${\sigma }^2$ 未知，均值 $\mu$ 的检验 （t 检验）

构造统计量：

拒绝域：

• 双边检验：$\left|t\right|\ge t_{\alpha /2}(n-1)$
• 右边检验： $t\ge t_{\alpha }(n-1)$
• 左边检验： $t\le -t_{\alpha }(n-1)$

二、双正态总体的均值差的检验

1. ${\sigma }_1^2={\sigma }_1^2$ 均已知，${\mu }_1-{\mu }_2$ 的检验 (U 检验)

两个样本来自两个方差相等的正态总体，方差已知，问：两种东西有无显著差异？

构造统计量：

拒绝域：

• 双边检验： $\left|u\right|\ge u_{\alpha /2}$
• 右边检验： $u\ge u_{\alpha }$
• 左边检验： $u\le -u_{\alpha }$

2. ${\sigma }_1^2={\sigma }_1^2$ 均未知，${\mu }_1-{\mu }_2$ 的检验（t 检验）

两个样本来自两个方差相等的正态总体，方差未知
问：两种东西有无显著差异

构造统计量：

拒绝域：

• 双边检验：$\left|t\right|\ge t_{\alpha /2}(n_1+n_2-2)$
• 右边检验： $t\ge t_{\alpha }(n_1+n_2-2)$
• 左边检验： $t\le -t_{\alpha }(n_1+n_2-2)$

3. 基于成对数据的检验（t 检验）

逐对比较法：为了比较两类事物的差异，在相同的条件下做对比实验，得到一批成对的观测值，分析观测数据作出推断

三、单个正态总体方差的检验

${\chi }^2$ 检验法

构造统计量：

拒绝域：

• 双边检验：${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$ ${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$
• 右边检验： ${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha }^2(n-1)$
• 左边检验： ${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$

四、双正态总体方差的检验

构造统计量：F 检验法

拒绝域：

• 双边检验：$F\le F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$ $F\ge F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$
• 右边检验：$F\ge F_{\alpha }(n_1-1,n_2-1)$
• 左边检验：$F\le F_{1-\alpha }(n_1-1,n_2-1)$